Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Заказать
 

Распределение Рэлея



Распределение Рэлея введено Дж. У. Рэлеем (1880) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со спиральными фазами. Закон Рэлея применяется для описания неотрицательных величин, в частности, когда случайная величина является радиусом - вектором при двухмерном гауссовом распределении. В ткацком производстве закон Рэлея широко применяется для анализа геометрической формы, например некруглости, нецилиндричности, эксцентриситета намотки на сновальных валах и ткацких навоях. Также встречается в применениях теории вероятностей, например к радиотехнике.

Распределение является геометрической суммой случайных величин , подчиненных закону Гаусса с параметрами : .

Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:

(2.3.1)

где - среднее квадратическое отклонение исходного двухмерного распределения  = ). Значение является параметром закона Рэлея.

Максимальное значение плотности равно и достигается при (на рис.2.3.1 даны графики плотности распределения Рэлея при различных ).

Рис.2.3.1 графики плотности распределения Рэлея при различных

Функция распределения имеет вид: (2.3.2)

При замене новой переменной получим плотность вероятности и функцию распределения нормированного закона Рэлея:

(2.3.3)

(2.3.4)

Графики нормированной плотности вероятности и функции распределения показаны на рис. 2.3.2.

Дифференциальная кривая (рис. 2.3.2,а) имеет положительную асимметрию и более острую вершину, чем гауссово распределение.

Рис.2.3.2. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) нормированного закона Рэлея.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

1. Математическое ожидание.

Следовательно , (2.3.5)

2.Дисперсия.

.

.

Следовательно,

(2.3.6)

3.Среднее квадратическое отклонение.

(2.3.7).

Вычислим асимметрию и эксцесс:

1.Ассиметрия.

, где .

Следовательно ,

(2.3.8)

2.Эксцесс.

, где .

Следовательно,

(2.3.9)

Нормированное рэлеевское распределение не зависит от параметра и легко табулируется.

Пример

На сновальной машине в результате погрешности крепления в пинолях сновального вала его намотка имеет эксцентриситет. Экспериментально получено, что и минимальный радиус намотки при вращении вала изменяется случайно со средним квадратическим отклонением =0,5 мм.


Наверх